EJERCICIOS-VECTDEMOSTRACION
Vectores
El concepto de vector es de suma importancia, no sólo en matemáticas sino también en física, química y otras ciencias, ya que permite describir el movimiento, la velocidad, las fuerzas, la polaridad de las moléculas, entre otras cosas. Por ejemplo, cuando nos referimos a fuerzas no es suficiente con decir que sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 100N para describir su movimiento. También es necesario saber la dirección de la fuerza y en que sentido actúa la misma.
Es por esto que el concepto de vector incluye estas tres cosas, pues los vectores están definidos por su longitud (o su módulo), su dirección y su sentido.
Seguramente habrán visto en la escuela la regla del paralelogramo, para suma vectores:
Otra operación que se puede hacer con un vector es el producto por un número (o mejor dicho por un escalar), que lo que hace es agrandar o achicar el módulo tantas veces como lo indique el número, y en caso de que éste sea negativo cambia su sentido.
Dado que el vector es un segmento orientado, si A y B son los extremos del vector y la flecha apunta hacia B, entonces notaremos este vector como AB (que es distinto y opuesto a BA).
La representación del vector como un segmento orientado es muy útil a la hora de encarar problemas de geometría, pero deja mucho que desear cuando queremos explorar propiedades algebraicas y de describir el espacio de 3 o más dimensiones.
Es por esto, que generalmente se representa a los vectores a través de coordenadas. Para no complicar demasiado las cosas en esta clase nos referiremos casi exclusivamente a los vectores de 3 coordenadas, es decir los que describen el espacio:
u = (u1, u2, u3) donde los números u1, u2 y u3 son las componentes del vector u; la primera, la segunda y la tercera respectivamente. Es muy importante respetar el orden, ya que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son iguales y en el mismo orden.
De esta forma la suma de dos vectores, y el producto de un vector por un número real k se definen:
Cuando nos referimos al vector AB, donde A y B son dos puntos del espacio tal que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3) y la del punto B son (b1, b2, b3) entonces el vector AB es igual a (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3).
A la hora de escribir es importante conocer la siguiente notación:
0 = (0, 0, 0) que es el vector nulo
-u = (-u1, -u2, -u3) que es el vector opuesto de u u - v = u + (-v) que es la diferencia entre los vectores u y v Por ejemplo, si u = (1, -3, 4) y v = (0, 2, -3) entonces:
¿Sea animan a probar que la representación gráfica y la de coordenadas son equivalentes al sumar vectores y al multiplicar por escalares?
Aún nos quedan un par de cuestiones teóricas por ver esta clase. La primera de ellas es la norma o longitud del vector definida como:
Por ejemplo, si u = (-3, 12, 4) entonces ||u|| = 13. Hagan la cuenta ustedes mismos.
La segunda cuestión es el producto interno, que se define como:
u · v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3
En base a esta definición se pueden probar algunas propiedades interesantes como:
Una de las propiedades más importantes del producto interno es que mide el ángulo entre dos vectores. Esto es así ya que u · v = ||u|| · ||v|| . cos(q), donde q es el ángulo entre los vectores u y v. Veamos por qué:
Tal vez recuerden el teorema del coseno que dice que en un triángulo ABC se cumple que:
AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos(BCA)
Haciendo distributiva en el primer miembro:
(u - v) · (u - v) = u · u + v · v - 2.u · v
Entonces al sustituir:
u · u + v · v - 2.u · v = u · u + v · v - 2.||u||.||v||.cos(q)
u · v = ||u||.||v||.cos(q)
De esta última igualdad se puede deducir otra propiedad del producto interno:
Por ejemplo, si u = (0, -1, 0) y v = (12, -4, -3) hallemos su producto escalar y el coseno entre ambos vectores:
u · v = 0.12 + (-1).(-4) + 0.(-3) = 4
Además u · v = ||u|| . ||v|| . cos(u, v) = 1 . 13 . cos(u, v) de donde podemos deducir que cos(u, v) = 4/13.
Veamos ahora un par de problemas para ver como utilizar estas herramientas:
A. Sean u, v y w tres vectores de 3 coordenadas, no nulos, ortogonales entre sí; y sean a, b y c números reales tales que a.u + b.v + c.w = 0. Demostrar que a, b y c son iguales a cero.
B.Sea ABC un triángulo y sea G su baricentro (la intersección de las medianas), demostrar que GA + GB + GC = 0.
Soluciones
A. Este problema, aunque al principio asuste un poco, no es para nada complicado. La astucia está en utilizar producto escalar en ambos miembros:
u· (a.u + b.v + c.w) = u · 0
a.(u · u) + b.(u · v) + c.(u · w) = 0 Haciendo distributiva
a.||u||2 + b.(u · v) + c.(u · w) = 0 Recuerden que u · u = ||u||2
a.||u||2 = 0 Por ser los tres vectores ortogonales entre sí u · v y u · w valen cero
Dado que u no es el vector nulo, tiene longitud mayor que cero, es decir ||u||2 > 0. Por tanto, a = 0. Del mismo modo podemos probar que b y c también valen 0.
B.
Dado que BA + AC = BC = -CB, entonces BA + CB + AC = 0. Una propiedad interesante de las medianas que tal vez recuerden es que la distancia del baricentro hasta un vértice mide al doble que la distancia del baricentro hasta el punto medio del lado opuesto. Es decir, que:
Por tanto, al reemplazar GA + GB + GC = -1/2 ( GA + GB + GC) + 1/2 (BA + CB + AC). De donde, 3.(GA + GB + GC) = BA + CB + AC = 0 llegando a la igualdad que queríamos probar.
Este resultado que acabamos de probar se puede generalizar para cualquier conjunto finito de puntos en el plano, o en el espacio. Aquí haremos la demostración para el caso bidimensional, por comodidad, pero el caso de varias dimensiones es exactamente igual.
En primer lugar hay que definir que es el baricentro de un conjunto finito de puntos en el plano. Si los puntos del plano son: X1 = (a1, b1); X2 =(a2, b2); ...; Xn = (an, bn) definimos al baricentro G = (A, B) donde:
Les dejamos la tarea de demostrar que para un triángulo las dos definiciones de baricentro que dimos son equivalentes.
Vamos a probar que GX1 + GX2 + ... + GXn = 0. Al comienzo de la clase vimos que:
GXi = (ai - A, bi - B)
Entonces GX1 + GX2 + ... + GXn = (a1 - A, b1 - B) + ... + (an - A, bn - B) = (a1 + a2 + ... + an - n.A, b1 + b2 + ... + bn - n.B) = (0, 0) = 0.
Como pueden ver, la regla de la poligonal es muy útil para resolver problemas geométricos, pero a la hora de hacer generalizaciones la notación de coordenadas resulta mucho más fructífera.
Esto es todo por esta clase. Dentro de quince días continuaremos viendo distintas aplicaciones y problemas con vectores.
Problemas y ejercicios
1. Probar las siguientes fórmulas:
2. ¿Cuál es la condición para que u + v y u - v sean ortogonales?
3. Dado un conjunto de punto en el plano G, X1, X2 , ..., Xn tal que GX1 + GX2 + ... + GXn = 0. Demostrar que G es el baricentro de los otros n puntos.
4. Sea ABCD un tetraedro y sean A´, B´, C´ y D´ los baricentros de las caras opuesas a los vértices A, B, C y D respetivamente. Demostrar que:
A´A + B´B + C´C + D´D = 0
5. Sean A y B dos punto antipodales en una esfera (es decir opuestos respecto del centro) y sea P un punto cualquiera de dicha esfera. Probar que los vectores PA y PB son ortogonales.
VECTORES COORDENADOS (Rn)
Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas. Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones. DEFINICIÓN 3.5 Una n-tupla de números reales se denota por donde cada xi es un número real. Las n-tuplas de números reales y son iguales si . El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales ordenadas se denota por , es decir DEFINICIÓN 3.6 Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma como la n-tupla se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos anteriormente a cada punto del plano coordenado se le puede asociar un vector fijo. Si es una pareja ordenada de números reales (un vector de ) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el origen de coordenadas O y por punto terminal X. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R2 Sean y , entonces A la suma de dos parejas ordenadas, se le puede asociar el vector fijo que tiene por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY. DEFINICIÓN 3.7 (Multiplicación por un escalar) Sean un elemento de y un escalar (número real), el producto del escalar por la n-tupla x se denota por . es una n-tupla de que se obtiene multiplicando cada una de las componentes de la n-tupla por el escalar . Sea TEOREMA 3.3 PROPIEDADES DE LA SUMA DE N-TUPLAS EN Rn Sean pertenecientes a y escalares (números reales). Entonces
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P2
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P5
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P7
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P9
DEFINICIÓN 3.8 Si x y y son elementos de Rn , definimos la resta como donde -y es el inverso aditivo de y. En matemáticas encontraremos sistemas matemáticos que satisfacen las 10 propiedades del teorema 3.3, estos sistemas se llaman espacios vectoriales. DEFINICIÓN 3.9(Espacio vectorial). Un conjunto V no vacío en el cual hay definidas dos operaciones, una suma en V y un producto por un escalar (un número real por un elemento de V) que cumpla las propiedades del teorema 3.3 se llama espacio vectorial y los elementos de V se llaman vectores.
Rncon las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las n-tuplas se pueden considerar como vectores.
Usaremos la notación para indicar que es el punto terminal del vector fijo . Si es un vector localizado en el espacio la notación indica que es el punto terminal del vector fijo .
Fig 3.35a
Otra manera de denotar vectores fijos en el plano y el espacio es la siguiente: Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 1). Entonces si P es un punto del plano de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como .
Fig 3.36
Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0, 0), el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del espacio de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como .
Fig 3.37
LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3.
Si del teorema de Pitágoras se tiene que aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que y remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que como la norma de un vector es no negativa tenemos que DEFINICIÓN 3.10(Longitud, magnitud o norma de un vector) La longitud del vector de Rn se denota por y se define como DEFINICIÓN 3.11 (Ángulos directores). Los ángulos directores de un vector fijo OA y del vector coordenado son los ángulos y , donde es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector OA, es el ángulo formado por el eje positivo de las y y el vector OA y es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0o y 180o. DEFINICIÓN 3.12 (Cosenos directores). Los cosenos directores del vector fijo OA o del vector coordenado son los cosenos de los ángulos directores del vector A y . Podemos encontrar una fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA. El ángulo es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR. de forma similar se tiene que Veamos que ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES EN R2 Y R3 DEFINICION 3.13 Sean A y B dos vectores de R3 o (R2) no nulos, el ángulo q entre los vectores A y B coordenados es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde q es un ángulo entre 0o y 180o. TEOREMA 3.4 Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces DEMOSTRACIÓN Por la ley de los cosenos se tiene que Si y son vectores de R3, entonces
Remplazando se tiene que Apunte de Vectores: Vectores fijos. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo. Vectores equipolentes. Vectores libres del plano. Suma de vectores. Propiedades de la suma de vectores.
VECTORES (1° parte)
Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.
El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos.
Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades fundamentales, así como de las bases y coordenadas.
Después se hará un somero estudio de los números complejos, enlazándolo con la primera parte del tema y con la trigonometría vista en capítulos anteriores.
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.
Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc.
Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar.
Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.
VECTORES FIJOS
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y B
A un segmento AB le corresponden dos vectores fijos distintos: AB y AB.
Se considera como caso singular el vector fijo definido por un segmento cuyos extremos coinciden. En este caso el vector fijo se reduce a un solo punto.
Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.
Módulo, dirección y sentido de un vector fijo
- En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
El módulo de un vector fijo AB se representa por |AB| y se leerá «módulo de AB ».
- Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.
- Dados dos vectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si los segmentos AD y BC (los segmentos que unen el origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un punto en común. En otro caso se dice que los dos vectores tienen sentido contrario o sentido opuesto.
También se puede decir que dos vectores de la misma dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los extremos en el mismo semiplano.
Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los dos vectores se encuentren en distinta recta. Si los dos vectores se encontrasen en la misma recta, se buscaría un vector fijo en una recta paralela que tuviese el mismo sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso se diría que los dos vectores tienen sentido contrario.
Vectores equipolentes
Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Si AB y CD son equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
VECTORES LIBRES DEL PLANO
Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano que son equipolentes a uno dado.
Como todos los vectores fijos del plano consistentes en un solo punto son equipolentes, definen un único vector libre, que recibirá el nombre de vector cero, r
Representantes de un vector libre
A uno cualquiera de los vectores que constituyen un vector libre se le denomina representante del vector libre.
Para representar un vector libre se escribe uno cualquiera de sus representantes, o bien se escribe una letra con una flecha encima.
Resultado fundamental
Dados un punto P y un vector libre del plano,a, existe un único representante de a con origen en P. Igualmente se puede encontrar un único representante de a con extremo en el punto P.
Demostración:
Para construir un representante de a con origen en P se traza una recta paralela al vector a que contenga al punto P.
En ella, desde P, y con el mismo sentido que a, se mide una distancia igual al módulo de a, |a|, obteniéndose un punto Q. El vector fijo PQ es un representante de a.
Para hallar un representante de a con extremo en P, se mide la distancia |a| en sentido contrario, obteniendo el punto Q´. El representante de a es, en este caso, el vector fijo Q´P.
SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores libres del plano a y b, se define su suma como el vector libre construido así:
- Se elige un punto arbitrario del plano, O.
- Con origen en O se busca un representante del vector a. Se llamará P a su extremo.
- Con origen en P se busca el vector PQ, representante de b.
- El vector suma a + b viene representado por el vector fijo, OQ (se une el origen del representante de a con el extremo del representante de b).
Propiedades de la suma de vectores
Conmutativa: Dados dos vectores del plano a y b, a + b = b + a.
Asociativa: Dados tres vectores a y b y c del plano, (a + b) + c = a + ( b + c).
Elemento neutro: Dado a, un vector cualquiera del plano, a + 0 = 0 + a = a.
Es decir, el vector 0 es el elemento neutro de la operación suma de vectores libres del plano.
Demostración:
Recuérdese que 0 es el vector del plano formado por todos los vectores fijos cuyo origen coincide con el extremo.
Se elige un punto fijo del plano, O, y con origen en O se busca el vector OP representante de a.
Los vectores OO y PP son representantes del vector 0.
Así se tiene:
a + 0 = OP + PP = OP = a y 0 + a = a
Elemento simétrico: Dado un vector a del plano, existe otro vector - a, tal que,
a + (- a) = (- a) + a = 0. El vector - a recibe el nombre de simétrico u opuesto de a.
Demostración:
Bastará con demostrar una de las dos igualdades:
Sea PQ un representante de a. Considérese el vector - a = QP.
a + (- a) = PQ + QP = PP = 0 y (- a) + a = 0
Como consecuencia de todas las propiedades vistas se dice que el conjunto de los vectores fijos del plano, junto con la suma de vectores, constituye un grupo conmutativo.
Observaciones:
1. Dado un vector a, su opuesto - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a, Basta con ver la construcción de - a.
2. Dados dos vectores a y b, existe un único vector x que verifica a = x + b.
Si existe tal vector, sería: a = b + x Þ (- b) + a = (- b) + ( b + x)
Por la propiedad asociativa, (- b) + ( b + x) = [ (- b) + b] + x = 0 + x = x
Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vector x = (- b) + a.
Falta ver que efectivamente la verifica:
b + x = b + [ (- b) + a] = [b + (- b)] + a = 0 + a = a, que es la igualdad buscada.
El vector (-b) + a recibe el nombre de diferencia entre los vectores a y b, y suele |
